Vsebinski program tekmovanja srednješolcev v znanju matematike za Vegova priznanja
Državno tekmovanje in odbirni del šolskega tekmovanja
K pregledu potrebnih znanj tekočega letnika je potrebno dodati snov vseh predhodnih letnikov.
| Letnik | Geometrija | Algebra in analiza | Logika in kombinatorika |
|---|---|---|---|
| 1. | Elementarni izreki v trikotniku (skladnost, podobnost, Pitagorov izrek) | Linearne enačbe in neenačbe Teorija števil (praštevila, deljivost, Evklidov algoritem, linearne Diofantske enačbe) | Dirichletovo načelo Logične naloge (zvijače in strategije) |
| 2. | Središčni in obodni kot Tetivni / tangentni štirikotnik Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Vektorji | Potence in koreni Kvadratna enačba in neenačba Diofantske enačbe Iracionalne enabe in neenačbe | |
| 3. | Trigonometrija Stereometrija | Kompleksna števila Eksponentna in logaritemska funkcija Polinomi | |
| 4. | Analitična geometrija | Zaporedja in seštevanje zaporedij Funkcije in funkcijske enačbe Indukcija | Klasična kombinatorika (permutacije, kombinacije, variacije, ...) |
Mednarodna tekmovanja
K pregledu potrebnih znanj je potrebno dodati vso snov za državno tekmovanje ne glede na letnik.
Geometrija
- Trikotnik in krožnica, usmerjeni koti, koncikličnost, kolinearnost, potenca točke na krožnico
- Pomembnejši izreki: Talesov, Cevov, Menelajev, Miquelov, Stewartov, krožnica devetih točk
- Vektorji, kompleksna števila v geometriji, stereometrija, Eulerjeva formula
- Transformacije: vzporedni premik, vrtež, razteg, inverzija, konstrukcije
- Analitična geometrija (v trikotniku), Apolonijeva definicija krožnice, geometrijsko mesto točk (analitično / geometrijsko), krivulje II. reda
Polinomi
- Ničle, Vietova pravila, deljivost, Hornerjev in Evklidov algoritem
- Razcepnost, enačbe tretje in četrte stopnje (resolventa), Lagrangeova interpolacija
Neenakosti
- Potenčne sredine, pomembnejše neenakosti: trikotniška, Cauchyjeva, Jensenova, Hölderjeva, Minkowskega, Bernoullijeva
- Neenakosti v geometriji
Kombinatorika
- Množice, klasična kombinatorika
- Seštevanja, preštevanja, identitete z binomskimi simboli
Teorija števil
- Kongruence, diofantske enačbe (Pellova enačba)
- Pomembnejši izreki: Eulerjev, Fermatov, Dirichletov, Wilsonov, kitajski izrek o ostankih
- Celoštevilske funkcije: celi del, Eulerjeva funkcija,
- Uporaba kompleksnih števil in hiperboličnih funkcij v teoriji števil
Analiza
- Zaporedja: aritmetično, geometrično, Fibbonaccijevo, seštevanje zaporedij, indukcija
- Funkcije in funkcijske enačbe
- Uporaba kompleksnih števil v trigonometriji
Diferenčne enačbe
- Uporaba v kombinatoriki
Rodovne funkcije
- Uporaba v kombinatoriki
- Seštevanje vrst
Grafi
- Poti in cikli, obhodi in sprehodi, planarnost, barvanje povezav in točk, Ramseyev izrek
Zvijače
- Dirichletovo načelo
- Strategije, potencial, barvanja, znanci
- Načelo ekstremnega elementa
Literatura
Prvo branje:
- Revija: Presek
- Elektronska revija Brihtnež.
Pregled potrebne teorije in zbirka rešenih nalog:
- M. Željko s sodelavci: Altius, Citius, Fortius, 2. dopolnjena izdaja
- I. Majcen: Smelo na olimp: teorija števil
Zbirke rešenih nalog:
- V. Batagelj, T. Pisanski: Rešene naloge iz matematike z republiških tekmovanj, I. del
- V. Batagelj, T. Pisanski: Rešene naloge iz matematike z republiških tekmovanj, II. del
- B. Lavrič: Rešene naloge iz matematike z republiških tekmovanj, III. del
- M. Željko: Rešene naloge iz matematike z državnih in izbirnih tekmovanj, IV. del
- D. Felda, A. Tiegl, M. Željko: Rešene naloge iz matematike s šolskih in izbirnih tekmovanj
- A. Jurišić: Rešene naloge z mednarodnih matematičnih olimpiad, I.del
- D. Felda, G. Dolinar, M. Željko: Evropski matematični kenguru, 1996-2001
- D. Felda, G. Dolinar, M. Željko: Evropski matematični kenguru, 2002-2005
- D. Felda, G. Dolinar, M. Željko: Evropski matematični kenguru, 2006-2008
- D. Felda, G. Dolinar, M. Željko: Mednarodni matematični kenguru, 2009-2011
- O. Arnuš, D. Hvastija: Dodatni pouk matematike za srednje šole: zbirka nalog in metodičnih pristopov za učitelje
- F. Savnik: Izbrane naloge za intenzivni pouk matematike v 1. letniku
- F. Savnik: Izbrane naloge iz elementarne matematike